Intervalle, Konsonanz

Einfache Schwingungsverhältnisse wie 2:1 oder 3:2 von zwei zusammenklingenden Tönen werden als konsonant empfunden. Konsonant bedeutet dabei wohlklingend, verschmelzend, harmonisch, ebenmäßig. Dies ist ein musikalische Grundprinzip, das sich kaum weiter hinterfragen lässt und für alle Kulturen und Zeiten gültig ist. Dagegen wirken komplizierte Schwingungsverhältnisse wie 15:16 als dissonant, was auseinanderklingend, unharmonisch, unstimmig und ähnliches meint, was aber nichts über die musikalische Verwendbarkeit aussagt.

Hier folgt eine Liste der häufigen Intervalle, geordnet nach "Einfachheit" der Schwingungsverhältnisse:

Die Intervalle Einklang, Oktav, Quint und Quart(bedingt) werden vollkommene Konsonanzen genannt, die Terzen und Sexten unvollkommene. Die übrigen Intervalle nennt man dissonant. Die Quart ist zwar mit 4:3 konsant, wird aber im traditionellen Tonsatz zum Teil wie eine Dissonanz behandelt.
Zum Glück toleriert unser Ohr kleine Unstimmigkeiten bei den Schwingungsverhältnissen, und zwar ist es bei den Unvollkommenen toleranter als bei den Vollkommenen.

Höre die beiden um 20 Cent zu klein gestimmten Intervalle:

Die verstimmte Oktave stört eindeutig mehr als die verstimmte Sexte.

Oktav-Äquivalenz

Erstaunlicherweise wird im Musikunterricht selten danach gefragt, warum die Töne im Oktavabstand gleich heißen. Die Antwort ist dann oft: "Weil der obere Ton die doppelte Frequenz hat", Dies ist unbefriedigend, wir betrachten einen 20 m hohen Baum ja auch nicht als gleich wie einen 10 m hohen. Tatsächlich wird in allen traditionellen Notationssystemen nicht unterschieden zwischen der Bezeichnung von einem c' und einem c''.

Dieses Phänomen heißt Oktav-Äquivalenz (Gleichwertigkeit). Wohl besser ist die Erklärung, dass Männer und Frauen, die gemeinsam die gleiche Melodie singen, normalerweise im Oktavabstand singen, also wenn gemeinsam "Happy Birthday" gesungen wird, geschieht das bestimmt. Ja, schon ein kleines Kind kann oft oktavieren, wenn es das vom Vater gesungene Lied nachmacht.

Tatsächlich können sogar gewisse Tiere, die Stimmen nachahmen können, um eine Oktave transponieren, wenn die originalen Töne ihren Stimmumfang sprengen würde. Dazu gehören Rhesus-Affen, gewisse Vögel und Ratten.

Oktaväquivalenz scheint also biologisch im Gehirn verankert zu sein, und es wurden auch Strukturen im Thalamus gefunden, die in Oktavschichten gegliedert sind. www.neuroscience-of-music.se/Wright.htm

Übrigens unterscheiden sich Frauen- und Männerstimmen im Durchschnitt nicht ganz um eine Oktave, es wird wohl eher ein Sexte oder Sept sein. Und die Frauenstimmen sind in den letzten Jahrzehnten tiefer geworden, wobei sich nicht unbedingt der Stimmumfang geändert hat, sondern der Gebrauch der Stimmlagen. Ein Grund könnte sein, dass Frauen durch das Vorbild von Mediensprecherinnen und Filmstars glauben, eine tiefere Stimme verschaffe mehr Respekt. Die Männerstimmen haben sich nicht verändert.

Auch mathematisch ist Oktaväquivalenz tatsächlich eine Äquivalenzrelation. Das heißt, sie ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Zur Unterscheidung der verschiedenen Oktavräumen dient das von Helmholtz (1821- 1894) begründete, oder das angelsächsische System:

	Helmholtz	engl. System	Frequenz Ton  c
Subkontra-Oktave	,,C	C0	16,35
Kontra-Oktave	,C	C1	32,70
Große Oktave	C	C2	65,41
Kleine Oktave	c	C3	130,81
Eingestrichene Oktave	c'	C4	261,63
Zweigestrichene Oktave	c''	C5	523,25
Dreigestrichene Oktave	c'''	C6	1046,50
Viergestrichene Oktave	c'''	C7	2093,00

Rechnen mit Intervallen, Cent

4⁄3 · 5⁄4 = 20⁄12 , gekürzt 3⁄5 , was tatsächlich eine Sexte ist.

Will man Intervalle subtrahieren, etwa eine große Sept minus eine Quinte, muss man die Frequenzverhältnisse dividieren, d.h. mit dem Kehrwert multiplizieren, also:

15⁄8 · 2⁄3 = 30⁄24 , gekürzt 5⁄4 , was eine große Terz ergibt.

Offensichtlich ist diese Rechnerei recht mühsam und nicht intuitiv, besonders da in der gleichstufigen Stimmung normalerweise komplizierte Schwingungsverhältnisse herrschen.
Deshalb wird gerne die Cent-Skala verwendet, die das Rechnen vereinfacht und zudem die Wahrnehmung von Intervallen besser wiederspiegelt. Die Cent-Skala wurde 1878 von Alexander John Ellis vorgeschlagen. Grob gesagt wird die Oktave in Intervalle von 1200 cents zerlegt, also 100 cents pro Halbton. Da in der Praxis kleinere Intervalle als 1 cent unhörbar sind, hat man meist mit ganzzahligen Cent-Werten zu tun. Und da die Cent-Skala auf dem Logarithmus der Frequenzverhälnissen beruht, kann man damit Intervalle gut addieren und subtrahieren, denn für den Logarithmus gilt generell:

log(x·y) = log(x) + log(y)

Die genaue Cent-Definition: wenn f1 und f2 zwei Frequenzen sind, dann beträgt ihr Intervall:
centzahl = 1200 · log₂(f1 ⁄ f2)
log₂ ist der Logarithmus zur Basis 2.
(Normalerweise interessiert nur der Betrag, nicht die Richtung der Cent-Angabe. Ob von oben nach unten oder umgekehrt ist nicht entscheidend. Deshalb kann f1 und f2 vertauscht werden).

Die Cent-Werte für einen bestimmten Frequenzabstand hängen aber vom Frequenzbereich ab:

Ein Frequenzverhältnis von 1600 Hz / 1601 Hz entspricht ziemlich genau 1 Cent. Also hier beträgt 1 Hertz Unterschied gerade 1 Cent.

Ein Frequenzverhältnis von 100 Hz / 101 Hz entspricht etwa 17 Cent.