Saiten

Betrachten wir zunächst einmal die ersten 8 Teiltöne einer Gitarrensaite . Tatsächlich klingen beim Zupfen einer leeren Saite alle Teiltöne miteinander, in unterschiedlicher Lautstärke.
Sie lassen sich aber schön als Flageolettöne (Harmonics) isolieren:

Der erste Teilton ist die ganze leere Saite
Der zweite Teilton halbiert die Saite.
Der dritte Teilton drittelt die Saite.
Der vierte Teilton viertelt die Saite.
usw.

Nun möchten wir wissen, wie die Frequenz abhängt von:
Saiten-Spannung, Dicke, Länge, Materialdichte.
Es gibt ein komplexe Formel, die das alles zusammenfasst:

Was bedeutet das konkret?

Verdoppelt sich die Saitenlänge, halbiert sich die Frequenz (bei gleicher Spannung). Das ist allgemein bekannt. Die Frequenz ist also umgekehrt proportional zur Länge.

Verdoppelt sich die Dicke (der Durchmesser) einer Saite, halbiert sich die Frequenz. Die Frequenz ist also umgekehrt proportional zur Dicke. Das ist weniger bekannt, ist aber plausibel.

Verdoppelt sich die Spannung, was geschieht dann? Wir erwarten wohl intuitiv eine Verdoppelung der Frequenz. Tatsächlich erhöht sich die Frequenz aber nur um den Faktor √2 ≈ 1,4 . Das entspricht ziemlich genau einer Quinte.

Verdoppelt sich die spezifische Dichte der Saite, vermindert sich die Frequenz um den Faktor 1/√2 ≈ 0,707 . Das entspricht etwa einem Tritonus, also einer halben Oktave.
Nylon hat eine Dichte von  1140 (kg/m³)
Stahl hat eine Dichte von  7850 kg/m³

In der folgenden Animation kannst du sehen, wie sich die Tonhöhe ändert mit Verdoppelungen der Saitenspannung:

Eine schwingende Saite hat ja bekanntlich diverse Obertöne, die der Grundschwingung überlagert sind. Die Obertöne sind ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung. Damit du dir besser vorstellen kannst, wie das genau geht, habe ich unten eine schematische Darstellung erstellt. Diese enthält eine Grundschwingung und eine überlagerte Schwingung mit der 3-fachen Frequenz, im Zeitlupentempo:
Mit dem Schieberegler kannst du die Geschwindigkeit ändern:

Eine echte tönende Saite schwingt zu schnell, als dass man die Teilschwingungen sehen kann. Und sie enthält oft eine Riesenzahl von Teilschwingungen. Wird sie nahe beim Auflagepunkt (Steg oder Sattel) gezupft, werden eher die höheren Teiltöne aktiviert, andernfalls eher die niederen.